【繁體】數學思辨之旅:拆解國中數學,建立數學素養與能力

為什麼要學數學？
反思、論證、練習與解題
跟著數學家探索世界

數學史、定義與公式解說、習題演練……
數學領域的價值與意義是什麼？
從現實到抽象，將文字化為數學語言。
數學素養的培養，從國中數學開始
目的在於培養解決問題的能力！

ＮＨＫ、《日本經濟新聞》、《東洋經濟週刊》
日本各大媒體雜誌報導，
東京大學畢業、數學奧林匹克參賽者，
日本最強數學補習班創辦人、數學教育專家
──永野塾主持人永野裕之，
帶你從國中數學開始，
探索基礎數學領域：幾何、代數、函數、機率與統計學。

永野裕之老師，累積十數年教學經驗，有感於學生會解題、考試拿高分，卻沒有數學素養，因而決定拆解國中數學，從數學史的發展切入，提醒大家，學習數學目的在於培養解決問題的能力。在反思、論證、練習與解題的過程中，體會從現實到抽象，運用人類獨具的想像力，將文字化為簡潔的數學語言，最終建立數學素養與能力。

「圖形──幾何學」的學習重點：
Ｉ「論證」方法
II 分類的方法與運用
III採取不同的視角

「數與式──代數學」的學習重點：
I 想像力
II 合理的過程
III 簡化題目

「函數──分析學」的學習重點：
I 變數
II 因果關係
III 1對1對應（圖）

「資料的運用──機率、統計學」的學習重點：
I 比較的合理性
II 資料的整理
III 隨機

序言
第1章 圖形──幾何學
哲學始於幾何學
巴斯卡的說服術
廣為流傳《幾何原本》的定義與公理
「分類」方法與運用
不同視角──訓練水平思考能力
學會「好的形式」──證明（論證）推演方法（國二）
何謂「正確的推論」？
證明的第一步──三角形的全等性質（國二）
「外項的積＝內項的積」──三角形的相似性質（國三）
相似的問題練習
國中數學的重點──畢氏定理（國三）
蘊含許多定理的「美麗圖形」──圓（國二、國三）
圓的題目練習
練習從「相反的視角」切入──面積和長度（國二）
練習「轉換的視角」──畢氏定理的應用（國二）

第2章 數與式──代數學
西方希臘、東方印度
長年不被接受的「負數」概念
誕生於古代東方文明的「代數學」
兩位代數學之父
求解方程式的要素
算術和數學的差異
挑戰各種公式解
演繹思考的利弊
概念性的數──負數（國一）
「負數×負數＝正數」的理由
看不見卻存在的數──平方根（國二）
適用於《幾何原本》的正確解題法──一次方程式（國一）
代入法才是消去未知數的捷徑──聯立方程式（國一）
挑戰國中數學最難的數學式變形──二次方程式（國二）
簡化題目的練習──方程式的應用（國一到國三）

第3章 函數──分析學
邂逅「變數
笛卡爾的「革命」──解析幾何學的誕生
歐拉開創的「分析學」
日本的「函數」淵源
因果關係
1對1對應的用法──「計算」的語源
邂逅變數──函數
推導函數的基本──變化的比例
追查原因──函數的利用（國一到國三）
觀察變化──函數與圖形（國一至國三）

第4章 資料的運用──機率、統計學
機率論發展初期的爭論①
機率論發展初期的爭論②
機率論發展初期的爭論③
「拉普拉斯」的惡魔
統計學家最有吸引力嗎？
近代統計學之父
南丁格爾與統計學
茶會與推測統計
隨機的困難度與重要性
確認「出現機率相同」──機率（國三）
掌握資料的特徵──資料整理（國三）
由部分推測全體──抽樣調查（國三）
結語
日文參考文獻
數學史相關年表

名人推薦

前師大數學系主任洪萬生老師審訂

第 2 章 數與式——代數學

藉由中學的數與式學習：

I想像力
II合理的過程
III簡化題目

西方希臘、東方印度

如同第1章所述，希臘透過幾何學發展了論證數學，但對希臘人來說，「數學」的討論對象主要是圖形，他們處理的多是長度、面積等「量值」，比較沒有發展數的計算技術。

與此相對，印度推展了數的計算技術。這與印度人早先採用以十種「數」（如今的阿拉伯數字）來表示所有數的「進位計數法」，有密切關係。印度人很早就發明「0」的概念，最晚約從第五、六世紀開始，便已使用現代的阿拉伯代數學數字來表示數的概念。

其他古代文明則發明了羅馬數字、中文數字，採用遇到進位便使用新數字的「數位計數法」。

以數位計數法來記錄數字較為方便，例如以阿拉伯數字表示「 1000038 」，沒有辦法一眼就看出數值為何，但若以數位計數法的中文數字表示成「一百萬○三十八」，馬上就可以看出數值。然而，若以數位計數法計算「一百三×二十九」，你會很不知所措吧！與此相對，計算「 103 × 29 」簡單許多。實際動手操作，你就能體會進位計數法在計算上有著壓倒性的優勢。

之後，約五、六世紀，隨著0概念的發明，東印度採用了進位計數法，致力於發展計算技術的數學。

長年不被接受的「負數」

大約七世紀時，印度人最先想出小於0的數負數，歸功於當時他們發展出最先進的數文化，但「負數」，但並非發想自數學家。

發明負數概念的是印度商人，他們將「 100萬元的借款」表示成「 100萬元的利益」，這是最早的負數例子。

印度數學家很快地接受了負數的概念，在七世紀中期的印度數學書籍中，即可發現有關於負數的記載。另一方面，歐洲數學家到了十七世紀才接受負數的概念。

在長達千年的歷史中，西方數學家頑強地反對將負數納入數學領域，這是為什麼呢？因為負數是抽象的，需要想像力。例如，但我們沒有辦法具體舉出「－3個麵包」。就無法具體表示這點來說，負數和正數完全不一樣，負數是屬於概念性、抽象性的。

而且，若單純僅把負數當成「比0小的數」，那麼負數的計算，尤其是乘法、除法，會令人不知道怎麼計算。想要理解負數的四則運算，我們必須在腦中想像負數是什麼樣的數，並且給予明確的定義。當然，這並不容易。事實上，即便是現代人，能夠清楚說明負數乘負數會變成正數，應該也是屈指可數吧（本章的後半部會解說（ 1 ）×（ 1 ）＝＋1 ）。

除了負數，中學數學還會學到「無理數（平方根）」。「無理數」也是需要想像力的數。人類不同於其他動物的能力，有一個即使是看不見實體，也能以概念的方式進行抽象理解。

若能透過抽象概念，理解事物，我們的思考力便能大幅躍進。藉由產生概念、深化概念，我們能夠更進一步地理解這個世界。

數學程度愈高深，需要想像力的抽象理論會愈多。中學數學所學的負數和無理數，是我們透過概念來看世界的初體驗。

誕生於東方古代文明的「代數學」

從希臘、印度數學大幅進展的時代往前數千年，在埃及、美索不達米亞、印度河流域、中國這「四大古文明」繁盛的時期，一般人民已在生活中使用「數學」的智慧。

四大古文明都發展於大河附近，由於無法躲避河川的氾濫，因此為了修建家園，必須具備測量、作圖技術。

此外，當時已經有徵收稅金的制度，不難想像「計算」成為人們必備的技能。人們從很久以前就會有邏輯地思考事物、以紙筆計算。

數學作為與生活息息相關的技術（算數），已有悠久的歷史，尤其是埃及和美索不達米亞（合稱為近東地區），進步更是令人驚歎。

有些文物反映了古代近東地區的「數學」卓越成就，那就是大約西元前1800年的數學書《萊因德數學紙草書（ Rhind Mathematical Papyrus ）》（現藏於英國大英博物館）。這是亨利．萊因德（ Henry Rhind ）向發現者收購的收藏品，因而得名。

順便一提，紙草是古埃及使用的紙張原料，據說英語paper的語源就是紙草（ papyrus ）。此紙草書收錄了約九十道「題目」，包括「阿哈（ aha ）問題」（阿哈意指堆積如山的穀物量）：

「某數加上它的17為19，試問某數為多少？（問題24）」

將某數（未知數）設為xx＋17x ＝ 19

即可成立基本一次方程式，但人們將這個問題表示成數學式，一直到十六世紀末才發生。

那麼，古埃及人如何解決這個問題呢？他們先假設一個解，例如，假設此問題的解為「7」： 7＋17× 7 ＝ 8

代入計算的結果為「8」，但問題要求的是「19」，19是代入「7」所得結果的「198」倍。7 ×198＝1338

所以，答案為「1338」。

雖然感覺繞了一大圈，但假設答案、計算結果，再修正為正確解答的「方程式」這個解法，四世紀廣泛應用於中國、希臘及六至七世紀的印度。

然而，古埃及僅會處理分子為1的分數（只有23為例外），所以「198」、「1338」會表示成更複雜的形式：

198＝ 2＋14＋181338＝ 16＋12＋18060

中學數學會教授基礎「代數學」。代數學是指以符號代替數字求解的「方程式」解法，以及由此發展出來的數學概念。

代數學使用符號來代替數字，最大的目標是一般化方程式的解法與數的性質。就這個意義來說，萊因德紙草書開頭所記述的這句話，便顯得意義非凡。

「代數是用來了解事物的所有謎團和秘密的正確計算法。」（三浦伸夫著，《NHK專題「不為人知的大英博物館」解開古埃及的數學問題集》，NHK出版，書名暫譯）

收錄於《萊因德數學紙草書》的題目，例如「將一百個麵包分給十人，而船員、船長、守衛分得一般人的兩倍。試問每人各分得多少麵包？（問題65）」，大多是與日常生活相關的問題。

古埃及人想要解決這些問題，大概需要印度人的「生活智慧」吧！另一方面，古埃及人可能是在《萊因德數學紙草書》的複雜計算中，發現了「了解事物的所有謎團和秘密」的代數學，他們從具體的解法中，看出一般化的「真理」。

在古埃及文明之後過了很長一段時間，今日的代數學雛形才得以形成。然而，阿哈問題確實是一種「方程式」，古埃及人從具體的數值計算中，發現了一般化的真理。

這樣一想，不禁令人驚訝《萊因德數學紙草書》收錄的解法，堪稱代數學的濫觴啊。

兩位代數學之父i代數學的英文是「 algebra 」，語源是阿拉伯數學家花拉子米（ al-Khwarizm，約780-846 ）的著作《代數學（ Hisab al-jabr w’al-muqabalah ）》所用的「 al-jabr 」。（註） al-jabr：移項（方程式兩邊加上相同的數來消除負項）。al-muqabalah：縮小（方程式兩邊減去相同的數來消除同類項）。

《代數學》敘述了用符號代替未知數列出方程式，以及移項方程式求解的方法，並且將二次方程式分成六類，提出相應的求解公式。因為在方程式解法上的貢獻，花拉子米被譽為「代數學之父」。然而，方程式要表示成我們熟悉的下列形式：062ax2＋bx＋c ＝ 0則是十七世紀的事情了。令人意外的是，很少有人知道「＝」、四則運算的「＋、－、×、÷」等符號並不是久遠以前就有的。雖然花拉子米以符號代替數字來列方程式，但他是以單字「 shay （某物）」來表示未知數。

最先以單一符號來表示數字的是，活躍於十六世紀的弗朗索瓦．韋達（ Franciscus Vieta, 1540-1603 ）。他的著作《分析法入門》以母音A、E、I、O、U表示未知數；以子音B、D、G等表示已知數。弗朗索瓦最先以符號代替數字，所以也被譽為「代數學之父」。

另外，最早以x、y、z……表示未知量；以a、b、c……表示已知量的是笛卡兒（ Descartes，1596-1650 ）。

代數學解開方程式的要素方程式是含有未知數，且必須賦予未知數特定值才可成立的等式，此特定值稱為解或根。

中學會學到一次方程式、二元一次聯立方程式、二次方程式的解法，但我希望讀者掌握下述三個概念：（1）新的「＝」意義（2）合理的演算法（3）簡化題目。

我們逐一討論吧！

（1）新的「＝」意義：

以下述等式為例：2＋3 ＝ 5

「＝」意味著左右兩邊總是相等，不會「昨是今非」，也不會在某地正確，但在另一地064卻錯誤。在數學上，這種「＝」總是成立的數學式，稱為恆等式。使用符號表示的下述數學式，同樣是恆等式。x＋x＋3 ＝ 2x＋3

（註）「恆等式」屬於高中數學的範疇。另一方面，方程式使用的「＝」是指，僅成立於「特定情況」，例如：2x＋3 ＝ 7方程式的「＝」僅在x為2時，才成立。

中學生剛學方程式的時候，可能沒有意識到「＝」有了新的定義，但又覺得新鮮有趣吧？「原來可以這樣做啊！」應該有不少人這樣想吧。以前算數用的「＝」和方程式的「＝」，兩者的差別可以用下述兩句英文來幫助理解。

He has friends, who like music. （他有許多朋友，他們都喜歡音樂）

He has friends who like music. （他有喜歡音樂的朋友）

的差別僅在於關係代名詞「 who 」的前面有無逗號，但意義卻大不相同。
關係代名詞的「非限定用法」，是用來說明先行詞的附加說法。這樣的表現方式沒有限定先行詞的範圍，具有「他全部的朋友都喜歡音樂」的意思。而是「限定用法」，這樣的表現方式限定了先行詞的範圍，具有「他有喜歡音樂的朋友，但（大概）也有不喜歡音樂的朋友」的意思。

這兩句英語如果勉強用「＝」來表現，則都會呈現為：「他的朋友＝喜歡音樂」其中，非限用法的「＝」，相當於恆等式；限定用法的「＝」，相當於方程式。

（2）合理的演算法：要怎麼判斷某問題的解是否正確呢？寫數學習題，只對照附錄的解答就可以判斷是不是正解，但出社會後面臨的問題並沒有「正確解答」。某問題的解（結論）是否正確，不是取決於「解」本身。判斷正確與否的根據，其實在於推導答案的過程當中。066假設我們得到「犯人是A」的結論（解），而推導過程如下：「A是風評不好的人」→「所以A是犯人」若結論是這樣推導出來的，因為不合理，所以「A是犯人」的可信度很低。但是：「現場留下來的毛髮DNA，和A一致」→「所以A是犯人」這樣推導，「A是犯人」的結論就很有可能是正確的。數學的方程式解法，是將推導求解的正確過程一般化。順帶一提，解決問題的固定步驟，稱為「演算法」。演算法（ algorithm ）的名稱，來自i於代數學之父花拉子米（ al-Khwarizm ）的名字。

（3）簡化題目：列出方程式求解的時候，我們必需簡化題目這等於「雞兔同籠」的問題。亦即只留下必要的情報，抽象地表示欲求對象。例如：「鶴和烏龜共10隻。若腳的數量合計32，試問鶴和烏龜各有幾隻？」小學生會這樣想：「先假設10隻全部是鶴，則腳的數量是20，還差12隻腳。把其中1隻鶴換成烏龜，則腳的總數會增加2，所以必需把6隻鶴換成烏龜。由此可知，鶴有4隻、烏龜有6隻。」這樣的思考方式非常具體，在解題時，很多人腦中都會浮現鶴和烏龜的身影吧。然而，中學生遇到同樣的問題，則會假設鶴有x隻、烏龜有y隻，且列出聯立方程式：x＋y ＝ 102x＋4y ＝ 32我想這樣解題，腦中就不會浮現鶴和烏龜的身影了吧（笑）。這樣的做法確實比較沒有想像空間，但卻留下了解決問題的必要資訊（本質），是完美的簡化。

簡化的能力可說是解決所有問題的必要能力。如眾所知，現實的問題錯綜複雜，包含了各種的要素。從中探究問題本質、去除不必要資訊的能力是非常重要的，這應該是所有社會人士都知道切身的道理吧。