행복한 수학 게임 챌린지: "나쁜 그림"으로 가득한 대화형 수학적 사고 책

10년 이상의 경력을 지닌 예일대학교의 재능있는 교사, 『행복한 수학』, 『미적분학』에 이은 신작입니다. 500개 만화, 5개 주요 장르, 70개 이상의 대화형 수학 게임. 혼자, 부모님, 반 친구들과 함께 놀면서 웃으면서 수학적 사고의 본질을 이해하세요.

편집자의 선택

★ 예일대학교의 유능한 교사들의 10년 이상의 교육 경험을 요약한 책으로, 베스트셀러 『행복한 수학』, 『행복한 수학: 미친 미적분학』의 이은 신작입니다.

★ 만화와 이야기를 활용하여 아이들의 수학적 이해력을 키워주세요. 500권의 만화, 5가지 주요 유형, 75¼ 대화형 수학 게임을 통해 게임에 담긴 수학적 사고의 본질을 쉽게 이해할 수 있습니다.

★ 종이, 펜, 동전 몇 개만 있으면 1분 안에 배울 수 있으며 평생 즐거운 시간을 보낼 수 있습니다. 학생들은 건강하게 사교 활동을 하고, 부모와 자녀는 따뜻하게 상호 작용하며, 아이들은 즐겁게 놀고, 긍정적인 에너지 게임을 하는 방법을 배울 수 있습니다.

★ 수학적 원리를 생생한 삶의 장면으로 바꿔보세요. 그래프 이론, 초실수, 게임 이론... 수학은 삶과 밀접한 관련이 있습니다.

★ 전 세계의 70개 이상의 슈퍼 클래식 수학 게임이 포함되어 있습니다. 일본 젓가락 게임, 영국 콩나물 게임, 미국 체인지 게임, 프랑스 도트 체스 게임, 아르헨티나 아마존 체스 게임, 폴란드 LAP 게임 등 전 세계의 수학적 사고를 게임에서 경험할 수 있습니다.

★ "원진도서상" 등 각종 사교계에서 널리 인정받았습니다. 국립도서관 제17회 '원진도서상' 추천도서, '2022년 신발견·대중과학도서목록' 선정, 중국국립도서관 아동도서 적극 추천 100대 도서목록·신지식 부문 선정 도서관, 『어린이 사계절 독서』 2023년 여름호.

★ 학자, 교장, 수학자 및 기타 권위 있는 인물이 추천합니다.

간략한 소개

수학 게임이 왜 중요한가요? 왜냐하면 그들은 인간의 마음 속에서 최고의 것을 끌어내기 때문입니다. Orlin은 이 대화형 수학 게임 컬렉션을 사용하여 재미있는 수학 세계로의 문을 열고 수학의 깊은 진실을 밝히는 데 도움을 줍니다. 이 책은 궁극의 틱택토(Ultimate Tic-Tac-Toe), 콩나물 게임, 세금 징수원, 은하계 체스 등 다양한 나라의 고전 게임 70여 종을 담고 있으며, 논리부터 확률, 기하학부터 위상수학까지 5개 카테고리로 나누어져 있다. , 조합에서 게임 이론까지, 수학 이론 등은 흥미롭고, 쉽게 플레이할 수 있으며, 수학적으로 영감을 준다는 세 가지 디자인 원칙을 엄격하게 따릅니다. 가장 중요한 것은 저자가 만화 형식으로 게임 플레이를 설명한다는 것입니다. 많은 게임을 마스터하는 데 1분밖에 걸리지 않지만 평생의 즐거움을 선사할 수 있습니다.

저자 소개

벤 올린  벤 올리린(Ben Orlin)은 그림을 잘 그리지는 못하지만 가르치는 데는 능숙한 수학 교사입니다. 예일 대학교 수학과를 졸업하고 12세부터 18세까지 다양한 수준의 수학을 가르쳤습니다. 그는 가끔 심리학, 생물학에 대해서도 이야기합니다. , 영어, 인식론, 심지어 지구 과학.
그는 MathWithbad Drawings.com 블로그의 저자이며 The Atlantic, Slate, Los Angeles Times 및 Chicago Tribune에 수학 관련 기사를 썼습니다.
중국어로 출판된 작품: "행복한 수학"과 "행복한 수학: 미친 미적분학".

목차

머리말
1장 우주 게임 
    도트 체스
    싹트기 게임
    궁극의 틱택토
    민들레 게임
    양자 틱택토
    우주 게임 플래터
2장 숫자 게임 
   젓가락 게임
   순차 게임
   33에서 99까지
   페니 지혜
   예언 게임
  디지털 게임 플래터
제3장 콤비네이션 게임 
    심 게임
    티코 게임
    이웃 게임
    직각 게임
    아마존 체스
    조합 게임의 큰 접시
4장 위험과 보상 게임 
    게임을 약화시키다
    아르페지오 게임
    터무니없는 게임
    종이 권투
    레이싱 게임
    위험과 보상 게임 플래터
5장 정보 게임 
    불스아이 게임
    경고 사항
    랩 게임
    양자낚시
    세사라 게임
    정보 게임 플래터
결론
감사의 말
일반적인 문제

머리말

머리말
나는 퍼즐로 책을 시작하고 싶다. 물어봐도 될까요? 당신과 침팬지의 차이점은 무엇입니까?
대답은 다음과 같습니다: 침팬지는 어렸을 때 아기 고릴라이고, 자라서는 아기 고릴라이고, 당신도 어렸을 때 아기 고릴라이고, 커서도 여전히 아기 고릴라입니다.
농담이 아닙니다. 거울에 비친 자신을 보세요. 매끄러운 피부, 좁은 턱, 크고 둥근 두개골 - 이것들은 모두 우리의 유인원 사촌이 나이가 들면서 잃는 특성입니다. 그러나 그들은 완고하게 그것을 유지했습니다. 자랐다. 비웃으려는 게 아니고 결국 나도 이렇게 여기까지 왔어요. 인간은 성인이 되어서도 어린아이 같은 특성을 유지하며 미국의 유명한 고생물학자이자 진화과학자이자 과학사가인 고생물학자 스티븐 제이 굴드(Stephen Jay Gould, 1941~2002)의 말에 집착한다. 대표작으로는 『다윈 이후』, 『플라밍고의 미소』, 『판다의 엄지손가락』 등이 있다. ——역자주(특별히 명시하지 않는 한 모두 역자주)] 전문용어에서 말하는 '영원한 젊음'은 '네오테니'인데, 이것이 영장류 세계에서는 인간의 특징이다. 가장 놀라운 점은 우리가 작은 오랑우탄처럼 보일 뿐만 아니라, 모방하고 탐구하고 질문하는 것을 좋아하는 등 그들처럼 행동한다는 것입니다. 한마디로 우리는 노는 것을 좋아합니다.
사랑하는 동안의 인간 친구 여러분, 우리가 재능 있는 영장류가 될 수 있는 것은 바로 놀이를 좋아하기 때문입니다. 인간이 피라미드를 짓고, 달에 발자국을 남기고, 전 세계적으로 3천만 장 이상 판매된 앨범 'Abbey Road'를 제작할 수 있는 것은 바로 재미에 대한 사랑 때문입니다. ['Abbey Road', 영국 록 밴드 비틀즈 1969년 발매된 11집은 그들의 마지막 정규앨범이기도 하다. ]. 물론 우리가 자라면서 자연스럽게 지혜를 갖게 되는 것은 아니다. 오히려 어릴 때부터 어리석은 존재가 되기를 거부하기 때문이다. 인간이 동물계와 다른 점은 배움을 멈추지 않는다는 점이며, 강한 학습능력의 비결은 놀기를 멈추지 않는다는 점이다.
그럼 무엇을 기다리고 계시나요? 함께 놀자!

이 책을 가지고 노는 방법
무엇을 준비해야 합니까?

1. 일반적인 일상 필수품. 저는 대부분의 게임을 종이와 펜만 사용하여 유지하려고 노력하지만 일부 게임에는 다른 것이 필요할 수도 있습니다. 각 장에서는 이러한 세부 사항을 자세히 설명하고 마지막 표에 관련 요약도 있습니다. (참고: 물리적인 주사위를 준비할 필요는 없습니다. "온라인 주사위", " 주사위 가젯" 및 기타 온라인 응용 프로그램).

새로운 게임 자체가 준비하기 가장 어려운 원재료다. 기존 게임의 변형 및 관련 게임은 포함되지 않습니다. 법으로 금지된 경우 위의 제안은 무효입니다. 하지만 해당 지역에서 게임이 법으로 금지되어 있다면 문제는 더욱 심각해집니다.

2. 놀이 친구. 수학 책에 나오는 많은 게임은 한 사람이 혼자 플레이하도록 되어 있지만 이 게임은 그렇지 않습니다. 제가 이 책을 썼을 때는 코로나19 사태로 인해 '사회적 거리두기'가 제안된 해였기 때문에 이 책은 사교와 모임에 대한 러브레터가 되었습니다. 몇 가지 싱글 플레이어 게임을 제외하고는 플레이메이트가 필요합니다. 게다가 이 책은 나와 같은 "큰 침팬지"를 위해 쓰여졌지만, 기본적으로 책에 나오는 게임은 모두 10세 어린이가 할 수 있고, 6세 정도의 어린이에게 적합한 게임도 많이 있습니다.

3. 진정한 본성으로 돌아가십시오. 스티븐 제이 굴드(Stephen Jay Gould)는 다음과 같이 썼습니다: "많은 동물들이 어린 시절에는 높은 수준의 유연성과 놀 수 있는 능력을 나타내지만 어른이 되면 엄격하게 확립된 패턴을 따릅니다." 수학 교사로서 나는 인정해야 합니다. 흰개미와 같은 전형적인 모방자와 같은 다른 동물. 당연히 이 수업은 우리 마음의 최악의 측면, 즉 무감각, 어색함, 불안을 포착합니다. 이 책을 읽으면서 이 모든 것을 제쳐두고 당신 안에 가장 소중한 아이인 당신의 진정한 본성을 불러내시기 바랍니다.

게임을 하는 목적은 무엇입니까? 인간 정신의 잠재력을 극대화하십시오.

게임의 규칙은 무엇입니까?
1. 이 책은 인간 놀이의 독특한 방식, 즉 "규칙 게임"이라고도 알려진 게임을 탐구합니다. 그 규칙은 셀 수 없이 많은 규칙(예: "독점")부터 단 하나의 규칙(예: "땅이 용암으로 가득 차 있습니다"), 잔혹하게 경쟁하는 시나리오(예: "독점")부터 긴밀한 협력이 필요한 시나리오(예: " 땅은 마그마로 가득 차 있다'), 최악의 인류 문화 산물(예: '모노폴리')부터 가장 가치 있는 인류 문화 산물(예: '땅은 마그마로 가득 차 있다')까지.
집필 과정에서 저는 항상 풍부하고 복잡한 게임 플레이를 지원할 수 있는 간단하고 기발한 규칙을 갖춘 게임을 찾고 있었습니다. 속담에도 있듯이, “배우는 데는 몇 분이 걸리지만 숙달하는 데에는 평생이 걸립니다.”

언론 논평

너무 진지하지 않으면서 재능과 지식이 풍부한 이 책은 당신이 갑자기 깨달음의 '아하' 순간을 맞이하더라도 행복하게 만들고, 웃게 만들고, 더 똑똑하게 만들어 줄 것이다.
—스티븐 스트로가츠(코넬대학교 수학과 교수이자 세계에서 가장 존경받는 수학자 중 한 명)

나는 항상 미적분학과 수학 학습에 대해 두 가지 견해를 가지고 있었습니다: ① 발명 없이 증명만 말할 수 없고, 추론 없이 정리만 말할 수 없습니다. ②한 가지 사건은 만 권의 책과 같으니, 한 가지 사건을 잘 배우면 미적분학 전체의 정신을 통달한 셈이다. 이 책 《행복한 수학: 미친 미적분학》은 미적분학의 근본적인 사고방식을 분석할 뿐만 아니라, 아주 흥미로운 사례들로 가득 차 있습니다. 이 책은 학습자와 교사에게 큰 영감을 주었으며, 모든 사람에게 이 책을 소개하게 되어 매우 기쁩니다.
——Lin Qun, 중국과학원 학자, 유명한 수학자, '미적분학의 할아버지'

수학의 전체적인 그림은 다채롭습니다. 때로는 자연 속으로 들어가 그 아름다움을 직접 느끼는 것과 같습니다. 『행복한 수학: 미친 미적분학』을 읽을 때의 느낌이다. 공식도 없고, 기호도 없고, 형식적인 논리도 없다. 미적분학의 근원과 논리가 자연스럽게 상식적 인지로 통합된다. 이야기와 질문 속에는 독자들과의 관계 수학적 지식이 없으면 당신이 똑똑한지 아닌지는 중요하지 않습니다.
——웨이 런, 중국 수학 올림피아드 1급 코치이자 베이징 제18중학교 당위원회 서기

교과서는 미적분학을 배우면서 즐겁게 웃게 만들 수 없지만 Ben Olin의 두 번째 책 "Calculus Madness for Happy Mathematics"는 그렇게 할 수 있습니다. 이 책은 그 무서운 과정인 미적분학의 기초와 발전에 관한 독특하고 흥미로운 작품입니다.
——미국수학협회

Ben Orlin의 그림은 정말 "나쁘다"! 운 좋게도 그는 매우 똑똑하고 매력적입니다. 그의 재능은 이 삽화를 수학의 거부할 수 없는 매력에 대한 가장 날카롭고 따뜻하며 가장 재치 있는 안내자로 만듭니다.
—한나 프라이(University College London의 수학자이자 BBC 발표자)

온라인 평가판 읽기

궁극의 틱택토

프랙탈 구조에 관한 게임

저는 2013년 수학부 야유회에서 우연히 이 게임을 발견했고 나중에 이에 대한 기사를 썼습니다. 그 기사는 일시적인 인터넷 현상을 촉발시켰고, Hacker News의 헤드라인을 장식했습니다. [Hacker News가 무엇인지 모른다면 조금 이상할 것입니다. ——저자 주], 심지어 Reddit 홈페이지에도 등장했습니다. [Reddit이 무엇인지 모르신다면 좀 낯설죠. ——저자 주], 심지어 작은 모바일 앱까지 탄생시켰습니다. [모바일 앱이 무엇인지 모르면 보통입니다. ——작가노트] 산업. 내 경력의 많은 부분을 이 게임에 빚지고 있기 때문에 무엇이 이 게임을 특별하게 만드는지 깊이 생각해 보았습니다. 게임의 규칙이 영리해서일까? 아니면 체스 전략이 복잡하지 않기 때문일까요? 또는 그것과 Ultimate Frisbee 스포츠 사이에 잠재적인 연관성이 있기 때문입니다. ["Ultimate Frisbee"는 영어로 Ultimate Frisbee이고 Ultimate는 원래 "궁극적"을 의미합니다. ]?
최근 몇 년 동안 저는 Ultimate Tic-Tac-Toe를 대체할 수 없는 또 다른 특성, 즉 프랙탈이라는 사실을 깨닫게 되었습니다(오래전에 이것을 생각했어야 했습니다).

하늘의 구름부터 해안선, 나무가지까지 우리는 프랙탈에 둘러싸여 살고 있습니다. 그래서 Ultimate Tic-Tac-Toe가 플레이하는 것이 자연스럽게 느껴지는 것 같습니다. 이것이 전통적인 Tic-Tac-Toe가 항상 추구해 온 것입니다.

이 게임을 플레이하는 방법?
무엇을 준비해야 합니까? 2명의 플레이어, 펜과 종이. 큰 틱택토 보드를 그리고 각 사각형을 더 작은 틱택토 보드로 채웁니다.

플레이어의 목표는 무엇입니까? 일렬로 연결할 수 있는 작은 체스판 3개를 획득하세요.

게임의 규칙은 무엇입니까?

(1) 두 명의 플레이어가 차례로 자신의 사각형을 표시합니다. 게임의 첫 번째 단계는 아무 칸에나 설정할 수 있지만 그 이후에는 상대방의 이전 행동을 기반으로 작은 보드에서 조작해야 합니다. 어떻게 해야 하나요? 즉, 어떤 사각형을 선택하든 그 위치에 해당하는 작은 체스판에서 다음 수를 움직여야 합니다.
(2) 작은 체스판에서 일직선으로 연결된 세 개의 사각형을 차지하면 작은 체스판에서 승리합니다. 이런 식으로 이 작은 체스판은 닫히고, 상대 플레이어는 다른 작은 체스판에서 다음 단계를 조작해야 합니다.
(3) 일렬로 연결된 세 개의 작은 체스판을 차지하는 플레이어가 승리합니다.
다른 가능한 승리 조건은 Ultimate Tic-Tac-Toe 변형 및 관련 게임을 참조하세요.

게임 경험 노트
2018년 5월의 어느 날, 나는 '538' 웹사이트(모델을 구축해 분석하고 예측하는 미국의 유명 웹사이트)에 접속했다. ] 뉴스를 검색하던 중 놀라운 뉴스 헤드라인을 보았습니다. 베테랑 언론인 올리버 로더(Oliver Roeder)는 이 헤드라인에서 "도널드 트럼프는 3D 체스(아름다운 인터페이스를 갖춘 체스 소프트웨어)를 하는 것이 아니다. 그는 궁극의 틱택토 게임을 한다"고 썼다.
당시 트럼프 대통령의 행태를 분석하는 데 많은 시간이 소요됐다. 그는 한 정치적 투쟁에서 다른 투쟁으로 뛰어들었고 종종 변덕스럽게 토론 주제를 바꾸었습니다. 그는 뭔가 큰 계획을 실행하고 있는 걸까요? 아니면 내면의 미친 충동을 따르고 있습니까? “그 사람이 3D 체스를 하고 있다고 생각하는 걸까요?” 비평가들은 종종 비아냥거렸습니다.
올리버 로드도 동의합니다. 그러나 그가 보기에 트럼프는 완전히 다른 게임을 하고 있다.
체스에는 전장이 하나뿐인 반면 Ultimate Tic-Tac-Toe에는 전장이 많습니다. Lord는 "이러한 전장은 이상하고 복잡한 방식으로 상호 작용하며 심지어 잘 생각한 Ultimate Tic-Tac-Toe 게임조차 언뜻 보면 무질서하고 단순하며 심지어 완전히 어리석은 것처럼 보입니다."라고 썼습니다. "유동적이고 끊임없이 변화하는 목표" 게임에 적용 가능한 전략에는 "동쪽으로 기절하기, 잘못된 방향을 지연시키기, 즉흥적으로 행동하기"가 포함됩니다. 즉, 트럼프 식 미디어 전략입니다.
이것이 좋은 정치인가? 아마. 그럼 이게 게임 상태가 좋은 걸까요? 전적으로. 그보다 더 뛰어난 공간 개념은 크고 작은 체스판 사이에서 공명하는 프랙탈 비전입니다.
이는 긴장된 분위기를 조성한다. 작은 보드에서는 좋아 보이는 움직임(예: 중앙 광장 점유)이 전체 레이아웃(상대를 중앙 보드로 보내는 것)에서는 실수로 판명될 수 있습니다. 승리하려면 이 두 가지 수준의 균형을 유지하고 정치 활동가들이 노력하는 것, 즉 "세계적으로 생각하고 지역적으로 행동하십시오"를 수행해야 합니다.

이 게임은 어디서 왔나요?
내가 찾을 수 있는 가장 초기 버전은 Tic Tac Toe Times 10이라는 1977년 보드 게임입니다. "Tic Tac Ku"라는 후속 버전이 2009년에 멘사 초이스 상을 수상했으며 규칙이 약간 달랐습니다(우승하려면 플레이어가 9개의 미니 보드 중 5개를 차지해야 하고 일렬로 연결된 3개의 작은 보드를 차지하지 않아야 함). [또한 이 게임의 규칙에는 이미 승리한 작은 보드로 보내지면 해당 보드의 결과에 더 이상 영향을 미칠 수 없더라도 그곳에서 계속 플레이해야 한다고 명시되어 있습니다. 겉보기에 무해해 보이는 이 변화는 결국 게임을 망가뜨리게 되었는데, 그 이유는 Happy Mathematics 시리즈의 첫 번째 책에서 설명했습니다. 좋은 게임 경험을 얻으려면, 여전히 비어 있는 체스판을 폐쇄된 경기장으로 취급해야 합니다. ——저자의 말]. 몇 년 후 "Tic Tac Ten"이라는 전자 버전이 출시되었고 게임 속도를 높이기 위해 게임 규칙이 변경되었습니다. 작은 보드를 캡처하면 전체 게임에서 승리합니다.
그럼에도 불구하고 내 2013년 블로그 게시물은 게임이 유행어 어휘집에 진입했음을 표시했습니다.
이 게임에는 다양한 이름이 있습니다. Wikipedia에서는 "Super Tic-Tac-Toe", "Strategic Tic-Tac-Toe", "Variant Tic-Tac-Toe" 및 "Tic-Tac-Toe Quadratic" 등을 언급하지만 제가 들은 다른 두 개는 생략합니다. 가장 좋아하는 "프랙탈 틱택토"와 가장 덜 좋아하는 "틱택토 공간". [내 생각에 언어에 대해 진지한 사람은 누구나 Quixotic 전투에서 패배할 수 있지만 단 한 번만 가능합니다. 만약 당신이 "literally"(문자적으로는 "literally"를 의미하지만 종종 과장하여 본래의 의미를 잃는 데 사용됨)에 대해 화를 낸다면, "irregardless"에 대해 화를 낼 수 없습니다(Regardless 자체는 "regardless"를 의미하는 부정적인 단어입니다) ". "ir"를 추가하면 이중 부정문이 되어야 하는데 구어에서는 irregardless가 여전히 "regardless"로 습관적으로 사용됩니다.) 이 단어가 다시 펀치를 날립니다. "데이터(데이터)는 복수형이어야 한다"라는 산에서 죽을 각오가 되어 있다면 "질문을 구걸하고 질문을 던진다"(구걸하는 질문은 원래 "질문을 구걸한다"는 뜻이지만,) 쪽에서도 죽을 수는 없다. 실제로 사용 중에는 "질문을 제기하는"이라는 의미로 잘못 사용되는 경우가 많습니다. 당신은 당신에게 가장 중요하고 인류 문명이 달려 있다고 믿는 전투를 선택해야 합니다. 내가 선택한 전투는 '인셉션'이라는 단어다. 2010년 눈길을 끈 영화 '인셉션'의 원래 제목은 '인셉션'으로, '인셉션'은 다른 사람의 마음에 아이디어를 심어 그 아이디어가 자기 자신에게서 나온 것처럼 느끼게 만드는 것을 말한다. 그것은 매우 유용한 개념이며, 내 인생의 모든 사람이 동시에 (그리고 더 성공적으로) 나에게 하는 것처럼 나도 그들에게 하려고 노력하는 것입니다. 영화의 잊을 수 없는 클라이맥스가 꿈 속의 꿈 구조라는 점은 아쉽다. 그래서 사람들은 "사물 속의 사물"을 설명하기 위해 "인셉션"을 사용하기 시작했습니다. 예를 들어 피자 위에 미니 피자를 얹는 것은 "피자-셉션"이 됩니다. 제 생각에는 여기서 "인셉션"을 사용하는 것은 어리석은 일입니다. 왜냐하면 중첩된 개념(프랙탈 피자)의 고유 이름을 몰아낼 뿐만 아니라 단어 없이 "아이디어 이식"이라는 개념도 만들기 때문입니다(""피자). -ception"은 원래 "피자-ception"을 의미했습니다. 하지만 그게 전부입니다. 제 생각에 동의하신다면 자유롭게 이 각주 사진을 찍어 트위터의 해당 국회의원들에게 보내주세요. 나는 그들이 그것에 대해 아무것도 할 수 없을 것이라고 생각하지만, 나는 그들이 이상한 트윗으로 넘쳐나는 것을 보는 것을 좋아합니다. ——작가의 말
] 어쨌든 '궁극'이라는 단어가 기억에 남는 것 같다. 이것은 Oakland Charter High School의 학생들이 생각해낸 것이기 때문에 제가 매우 자랑스러워하는 것입니다.

이 게임이 왜 중요한가요?
우리는 프랙탈 세계에 살고 있기 때문입니다.
프랙탈은 다른 규모에서 동일하게 보이는 것입니다. 확대에 무관심하고 축소에 무관심합니다. 가지가 어떻게 더 작은 가지로 나뉘는지 보시겠습니까? 각 지점은 전체의 축소판입니다. 그리고 들쭉날쭉한 곡선을 따라 이어지는 해안선은 규모가 달라도 똑같아 보이고, 구름의 푹신한 구조도 프랙탈 특성을 갖고 있습니다.
이러한 프랙탈 사물에 내재된 아름다움은 우연이 아닙니다. 다양한 규모로 무한히 반복되는 단순한 디자인 원리는 매혹적인 복잡성을 만들어낼 수 있습니다. 이것을 카오스(Chaos)의 저자 제임스 글렉(James Gleick)은 “흔들리고 역동적인 조화”라고 부릅니다.
19세기에 프랙탈은 수학적인 집합체로 빠져들어 초대받지도 않은 것처럼 보였습니다. 프랙탈이 가져오는 새로운 모양은 들쭉날쭉하고 조각나며 설명하기 어렵습니다. 수학자들은 기하학의 모든 규칙을 어기므로 이를 설명하기 위해 "sick"이라는 단어를 사용합니다.
그러나 수십 년 동안 아무도 이러한 모양을 심각하게 분류하지 않았으며 단지 호환되지 않는 장난감 모음에 불과했습니다. 20세기가 되어서야 수학자 Benoit Mandelbrot는 이를 집합적으로 "프랙탈"이라고 부르고 이를 질병이 아닌 치료법으로 생각하기 시작했습니다. 그는 프랙탈을 사용하여 무엇을 치료합니까? 글쎄, 삼각형, 사각형, 원뿔이 물리적 현실과 관련이 있다는 미친 낡은 생각을 근절하십시오. Benoit에 따르면 실제로 병적인 것은 우리가 학교에서 가르치는 기하학입니다. 그는 “구름은 구형이 아니며, 산은 원뿔이 아니고, 해안선은 둥글지 않고, 나무껍질은 매끄럽지 않고, 번개는 직선으로 움직이지 않는다”고 썼습니다.
자연은 유클리드 세계에 속하지 않고 프랙탈 세계에 속합니다.
플라톤은 프랙탈 기하학을 싫어했음이 틀림없습니다. 고대 철학자는 순수한 유클리드 기하학을 확고히 믿었기 때문에 대화에서 우주 전체가 삼각형, 특히 학생의 악몽인 두 가지 유형의 "특별한 직각 삼각형"으로 구성되어 있다고 가정한 적이 있습니다.
좋아요, 플라톤. 인스타그램에서 좋아하는 자연 계정을 찾아보세요. 직각삼각형은 몇 개나 보이나요?
이제 살펴보겠습니다. 프랙탈이 몇 개나 있나요? 프랙탈은 직각삼각형보다 더 흔하지 않나요?
자연은 프랙탈 정원이다. 산은 들쭉날쭉한 돌무더기이고, 그 위에는 작은 돌무더기가 있고, 그 꼭대기에는 더 작고 작은 돌무더기가 있습니다. 폐에서는 기관이 가지, 가지, 또 가지를 치며 평균 23회 가지를 치며 최종적으로 혈액에 산소를 전달하는 풍선 같은 작은 폐포를 형성합니다. 간단히 말해서, 당신의 호흡은 프랙탈에서 나옵니다. 프랙탈 기하학이 탄생하기 수십 년 전에 지질학자들은 개울 바닥과 큰 협곡이 사진에서 구별하기 어렵다는 것을 깨달았습니다. 그래서 그들은 크기에 대한 기준으로 항상 렌즈 캡이나 망치를 프레임에 두곤 했습니다.
모든 작은 것은 소우주이고, 모든 큰 것은 대우주이며, 모든 규모는 서로를 반영합니다.

물론, 정확히 말하면 내 사무실 창밖의 나무는 끝없이 가지를 뻗지 않으며, 많아야 8번을 넘지 않을 것이다. 그러나 수학자 마이클 프레임(Michael Frame)과 시인 아멜리아 유리(Amelia Urry)가 쓴 책 "프랙털 월드(Fractal Worlds)"에 따르면, 그것만으로도 충분하다고 합니다. "프랙탈"이라고 부르려면 사물이 최소한 3개의 자기 유사 수준을 가져야 합니다. Ultimate Tic-Tac-Toe는 정사각형으로 구성된 정사각형으로 구성된 게임으로 이러한 기준에 적합합니다. 한 단계 더 나아가 이 게임 중 9개를 729개의 사각형 보드로 결합하고 싶다면 자유롭게 사용하세요. [이런 경우 게임의 룰은 어떻게 조정해야 할까요? 처음 두 수에 따라 행동 위치가 결정되도록 할 수 있습니다. 이전 수(본인의 수)에 따라 플레이할 중간 크기 체스판이 결정되고, 이전 수(상대방의 수)에 따라 플레이할 작은 체스판이 결정됩니다. 이것을 시도하고 싶어하는(그리고 감히) 누구든지 세계 기록이 기다리고 있습니다. ——저자의 말]
나는 Ultimate Tic-Tac-Toe에 Forked Lightning의 드라마가 부족하다는 것을 인정합니다. 인공 축전기 속의 프랙탈과 같은 인공적인 프랙탈이다.톰 스토파드(Tom Stoppard)[톰 스토파드(Tom Stoppard, 1937년생), 대표작으로는 '셰익스피어 인 러브', '튤립 열병', '인터셉트 코드 워즈' 등이 있다. ] 드라마 속의 프랙탈, 또는 살바도르 달리 [살바도르 달리(1904~1989), 초현실주의 작품으로 유명한 20세기 가장 대표적인 화가 중 한 명으로 알려진 스페인 화가, 대표작으로는 『기억의 지속』, 『기억의 지속』 등이 있다. 안달루 개'와 '남북전쟁의 징조'. 
] 살바도르 달리의 그림 속 프랙탈. 그럼에도 불구하고, 인간의 독창성의 모든 작품과 마찬가지로 Ultimate Tic-Tac-Toe는 프랙탈로 가득 찬 자연의 깊은 우물에서 영감을 얻습니다.
Michael과 Amelia는 "프랙탈 구조는 플랑크 길이에서 우주 전체에 걸쳐 존재할 수 있으며 아마도 분기 변형이 발생하는 모든 우주에 걸쳐 존재할 수 있습니다. 우리가 아는 한 더 큰 규모 범위는 불가능합니다."라고 썼습니다.
아마도 내 학생들은 프랙탈 Tic-Tac-Toe에 가장 적절한 이름인 Ultimate를 붙였을 때 이 점을 염두에 두었을 것입니다.

변형 및 관련 게임
단일 승리: 작은 보드를 가장 먼저 점령하는 플레이어가 게임에서 승리합니다.

다수결의 법칙: 승리하려면 상대방보다 더 많은 작은 보드를 차지해야 합니다. 배열이 중요한 것이 아니라 숫자가 중요합니다.

공유 영역: 일반 게임에서 작은 체스판이 점령되어 있고 점령된 다른 두 개의 작은 체스판과 연결되어 있지 않으면 두 플레이어 모두에게 의미가 없습니다. 그러나 원하는 경우 두 플레이어가 공유하는 것으로 처리할 수 있습니다(보드 3개를 연속으로 획득하는 것이 더 쉬워짐).

Ultimate Drop Three: Ben Isecke가 저에게 Ultimate Tic-Tac-Toe와 Four-Block의 훌륭한 조합이라는 아이디어를 주었습니다. 게임 단계는 Ultimate Tic-Tac-Toe와 동일합니다. 단, X나 O를 어디에 배치하든 해당 작은 보드에서 가능한 한 멀리 "떨어집니다". 승자는 미니 체스판에서 한 줄로 연결될 수 있는 3개의 사각형을 먼저 차지한 사람입니다(또는 한 줄로 연결될 수 있는 3개의 작은 체스판을 먼저 차지한 사람이 결정될 수도 있습니다).
매 턴마다 왼쪽, 중앙, 오른쪽의 세 가지 선택만 가능합니다. 결과적으로 게임은 더욱 긴장되고 스트레스를 받게 되지만 여전히 매우 복잡해집니다.

더블 게임(Double Game): 원래 게임에서는 상대방의 움직임에 따라 다음에 해야 할 미니 보드 움직임이 결정되었지만 더블 게임(Double Game)은 이를 뒤집습니다. 이제 일어나는 일은 상대방의 움직임에 따라 다음에 움직여야 할 작은 사각형이 결정된다는 것입니다. 그러나 어떤 작은 사각형을 선택하는지는 당신에게 달려 있습니다.

게임을 이런 식으로 이해할 수도 있습니다. 원래 게임에서는 플레이어를 도시로 보낸 다음 플레이어가 동네 중 하나를 선택했습니다. 현재 버전에서는 커뮤니티를 미리 지정해 플레이어가 원하는 도시를 선택해 커뮤니티 전체를 차지할 수 있다.
이것은 힘든 게임이다. 한 번에 한 걸음씩 겨우 내딛을 수 있고, 더 생각하기가 어렵습니다. 최신 단계에 주의를 기울이십시오. 그렇지 않으면 조심하지 않으면 길을 잃을 것입니다.